Produtos Notáveis em Operações Númericas: Exemplos

O conhecimento dos conceitos dos produtos notáveis é de extrema importância porque reduz o tempo gasto na resolução de uma questão e agiliza os cálculos matemáticos.

O termo notável é justamente utilizado para realçar a importância dessa ferramenta que facilita o processo na hora de encontrarmos a resposta de um problema.

Operações algébricas dos produtos notáveis

Para dominar o assunto, precisamos aprender cinco casos que envolvem as operações algébricas dos produtos notáveis.

1) O quadrado da soma de dois termos

É preciso compreender, nessa operação, a utilização das propriedades de potenciação para resolvê-la.

(a + b)² = (a + b) * (a + b)

Dessa forma, aplicando a distributiva, descobrimos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ou seja, sendo a o primeiro termo a e b o segundo, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro somado a duas vezes o produto do primeiro e do segundo mais o segundo ao quadrado.

Exemplos:

(4 + 5)² = 4² + 2*4*5 + 5² = 16 + 40 + 25 = 81

(3 + 2)² = 3² + 2*3*2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25

2) O quadrado da diferença de dois termos

Desenvolvendo as propriedades distributivas da multiplicação obtemos que:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Desse modo, o quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto entre os dois termos, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(5 – 3)² = 5² - 2*5*3 + 3² = 25 - 30 + 9 = 4

(7 – 4)² = 7² - 2*7*4 + 4² = 49 – 56 + 16 = 9

3) Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) * (a – b)

A distributiva resulta em uma diferença de quadrados, logo:

(a + b) * (a – b) = a² - ab + ab – b² = a^{2 –} b²

Exemplos:

(3+2) * (3 – 2) = 3² - 2² = 9 – 4 = 5

4) O cubo da soma de dois termos

Considere a informação abaixo:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)²

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

A partir disso obtemos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo somado ao triplo do primeiro termo ao quadrado e do segundo termo, mais o triplo do primeiro termo e do segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(4 + 1)³ = 4³ + 3*4²*1 + 3*4*1² + 1^{3 =} 64 + 48 + 12 = 124

5) O cubo da diferença entre dois termos

(a – b)³ = (a - b).(a – b)²

 (a – b).(a² – 2ab + b²) → (a - b)²

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Da mesma forma que na operação de soma, o resultado do cubo da diferença é o cubo do primeiro termo subtraído do triplo do primeiro termo ao quadrado e do segundo termo, mais o triplo do primeiro termo e do segundo termo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(5 – 2)³ = 5³ - 3*5²*2 + 3*5*2² - 2³ = 125 – 150 + 60 – 8 = 27